Question

（2005•静安区一模）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E、F分别在底面正方形的边AB、BC上，且AE=CF=

2

3

，点G为棱A₁B₁的中点．
（1）在图中画出正方体过三点E、F、G的截面，并保留作图痕迹；
（2）（理）求（1）中的截面与底面ABCD所成锐二面角的大小．
（3）（文）求出直线EC₁与底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知，EF∥A₁C₁，取B₁C₁中点H，EF∥GH，连接E，F，G，H，即为截面．
（2）建立空间直接坐标系，利用平面EFHG法向量与底面法向量夹角去求截面EFGH与底面ABCD所成锐二面角的大小．
（3））因为C₁C⊥底面ABCD，所以∠C₁EC就是所求的角．在RT△C₁CE中 求解即可．

解答：解：（1）如图，截面为EFHG        
（2）如图，建空间直角坐标系，E(2，

2

3

，0)，F(

2

3

，2．，0)，G(2，

1

2

，2)，

FE

=(

4

3

，-

4

3

，0)，

EG

=(0，

1

3

，2)（8分）
平面EFHG法向量为（-6，-6，1），底面法向量为（0，0，1）
设向量夹角θ，cosθ=

1

36+36+1

=

73

73

（12分）
截面EFHG与底面所成锐二面角大小为arccos

73

73

（14分）

（3）∵C₁C⊥底面ABCD，∴∠C₁EC就是所求的角                   （9分）
在RT△C₁CE中，EC=

4+ 16 9

=

2 13

3

，tan∠C1CE=

2×3

2 13

=

3 13

13

（12分）
所以直线EC₁与底面所成角大小为arctg

3 13

13

（14分）

点评：本题主要考查空间线线、线面、面面关系，二面角、线面角的度量、考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．