已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.过左焦点F1的直线与椭圆C交于M.N两点.且△F2MN的周长为8,过点P(4.0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A.B两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过左焦点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且△F₂MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围；
（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

分析（Ⅰ）由题意可得c=1，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线PB的方程为y=k（x-4），代入椭圆方程，运用韦达定理，及向量的数量积的坐标表示，化简整理，由不等式的性质，即可得到所求范围；
（Ⅲ）求得E的坐标，以及直线AE的方程，令y=0，运用韦达定理，化简整理，即可得到所求定点．

解答解：（Ⅰ）由题意可得c=1，
△F₂MN的周长为8，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，
即有b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），
由代入椭圆的方程得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得：k²＜$\frac{1}{4}$，
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$①，
∴y₁y₂=k²（x₁-4）（x₂-4）=k²x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）•$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-4k²•$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+16k²=25-$\frac{87}{3+4{k}^{2}}$，
∵0≤k²＜$\frac{1}{4}$，∴-29≤-$\frac{87}{3+4{k}^{2}}$＜-$\frac{87}{4}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈[-4，$\frac{13}{4}$），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是[-4，$\frac{13}{4}$）．
（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x₂，-y₂），
直线AE的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0得：x=x₁-$\frac{{y}_{1}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），∴x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，
由将①代入得：x=1，
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．

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