练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知数列{an}满足：a1=1，an=
    1+2a
    n
    2
    		n为偶数
    1
    2
    +2a
    n-1
    2
    		n为奇数
    ，n=2，3，4，…．
    （Ⅰ）求a3，a4，a5的值；
    （Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=1，2，3…，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；
    （Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由．
    分析：（Ⅰ）由题设条件可知a2=1+2a1=3，a3=
    1
    2
    +2a1=
    5
    2
    ，a4=1+2a2=7，a5=
    1
    2
    +2a2=
    13
    2
    ．
    （Ⅱ）由题意知bn+1=a2n+1，又a2n+1=(2a
    2n
    2
    +1)+1=2(a2n-1+1)=2bn    ，所以bn+1=2bn．再由b1=a21-1+1=a1+1=2可知bn=2n．
    （Ⅲ）对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列．再用分析法进行证明．
    解答：解：（Ⅰ）因为a1=1，所以a2=1+2a1=3，a3=
    1
    2
    +2a1=
    5
    2
    ，a4=1+2a2=7，a5=
    1
    2
    +2a2=
    13
    2
    （3分）
    （Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，bn=a2n-1+1，
    所以bn+1=a2n+1（4分）
    又a2n+1=(2a
    2n
    2
    +1)+1=2(a2n-1+1)=2bn
    所以bn+1=2bn（6分）
    又b1=a21-1+1=a1+1=2（7分）
    所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2n（8分）
    （Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，
    a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列（10分）
    我们先来证明：
    “对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-
    k
    2
    ”
    由（II）得bn=a2n-1+1=2n，所以a2n-1=2n-1．
    当k为奇数时，a2n-1+k=
    1
    2
    +2a
    2n-1+k-1
    2
    =
    1
    2
    +2a2n-2+
    k-1
    2

    当k为偶数时，a2n-1+k=1+2a
    2n-1+k
    2
    =1+2a2n-2+
    k
    2

    记k1=
    k
    2
    		k为偶数
    k-1
    2
    		k为奇数

    因此要证a2n-1+k=2n-1-
    k
    2
    ，只需证明a2n-2+k1=2n-1-1-
    k1
    2
    ，
    其中k1∈（0，2n-2），k1∈N*
    （这是因为若a2n-2+k1=2n-1-1-
    k1
    2
    ，则当k1=
    k-1
    2
    时，则k一定是奇数，
    有a2n-1+k=
    1
    2
    +2a
    2n-1+k-1
    2
    =
    1
    2
    +2a2n-2+
    k-1
    2

    =
    1
    2
    +2(2n-1-1-
    k1
    2
    )=
    1
    2
    +2(2n-1-1-
    k-1
    2
    2
    )=2n-1-
    k
    2
    ；
    当k1=
    k
    2
    时，则k一定是偶数，有a2n-1+k=1+2a
    2n-1+k
    2
    =1+2a2n-2+
    k
    2

    =1+2(2n-1-1-
    k1
    2
    )=1+2(2n-1-1-
    k
    2
    2
    )=2n-1-
    k
    2
    ）
    如此递推，要证a2n-2+k1=2n-1-1-
    k1
    2
    ，只要证明a2n-3+k2=2n-2-1-
    k2
    2
    ，
    其中k2=
    k1
    2
    		k1为偶数
    k1-1
    2
    		k1为奇数
    ，k2∈（0，2n-3），k2∈N*
    如此递推下去，我们只需证明a21+kn-2=22-1-
    kn-2
    2
    ，kn-2∈（0，21），kn-2∈N*
    即a21+1=22-1-
    1
    2
    =3-
    1
    2
    =
    5
    2
    ，即a3=
    5
    2
    ，由（I）可得，
    所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-
    k
    2
    ，
    对任意的m≥2，m∈N*，a2m+i=2m+1-1-
    i
    2
    ，a2m+i+1=2m+1-1-
    i+1
    2
    ，
    其中i∈（0，2m-1），i∈N*，
    所以a2m+i+1-a2m+i=-
    1
    2

    又a2m=2m+1-1，a2m+1=2m+1-1-
    1
    2
    ，所以a2m+1-a2m=-
    1
    2

    所以a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项，
    是首项为a2m=2m+1-1，公差为-
    1
    2
    的等差数列（13分）
    说明：当m2＞m1（其中m1≥2，m1∈N*，m2∈N*）时，
    因为a2m_，a2m_+1，a2m_+2，，a2m_+2m_-1构成一个项数为2m2的等差数列，
    所以从这个数列中任取连续的2m1项，也是一个项数为2m1，公差为-
    1
    2
    的等差数列．
    点评：本题考查数列性质的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养计算能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
    3+4an
    12-4an
    ， n∈N*    ．
    （1）若数列{bn}满足：bn=
    1
    an-
    1
    2
    (n∈N*)    ，试证明数列bn-1是等比数列；
    （2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
    （3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足
    1
    2
    a1+
    1
    22
    a2+
    1
    23
    a3+…+
    1
    2n
    an=2n+1    则{an}的通项公式
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=
    3
    2
    ，且an=
    3nan-1
    2an-1+n-1
    （n≥2，n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
    （1）若a1=
    54
    ，求an；
    （2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
    2n-1
    2n-1
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案