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14.已知函数f(x)=alnx+$\frac{1}{2}$bx2+x.(a,b∈R).
(1)若函数f(x)在x1=1,x2=2处取得极值,求a,b的值,并说明分别取得的极大值还是极小值;
(2)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为1,且对任意x∈[1,e],都使得f(x)-x≤(a+2)(-$\frac{1}{2}$x2+x)恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)求得f(x)的导数,由题意可得f′(1)=a+b+1=0,f′(2)=$\frac{1}{2}$a+2b+1=0,求得a,b的值,可得f(x)及导数,求得单调区间,可得极值;
(Ⅱ)求得f(x)的导数,由导数的几何意义,解方程可得a=-b,故f(x)=alnx-$\frac{a}{2}$x2+x,由题意可得a(x-lnx)≥x2-2x成立,由条件可得a≥$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$(x∈[1,e]),令g(x)=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$((x∈[1,e]),求得导数,判断单调性,可得最小值,即可得到a的范围.

解答 解:(Ⅰ)函数f(x)=alnx+$\frac{1}{2}$bx2+x的导数为f′(x)=$\frac{a}{x}$+bx+1,
由在x1=1,x2=2处取得极值,可得f′(1)=a+b+1=0,f′(2)=$\frac{1}{2}$a+2b+1=0,
解得a=-$\frac{2}{3}$,b=-$\frac{1}{3}$,
此时f(x)=-$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{6}$x2+x,f′(x)=-$\frac{2}{3x}$-$\frac{1}{3}$x+1=-$\frac{(x-1)(x-2)}{3x}$,
列出表格:

x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)极小极大
所以,在x=1取得极小值$\frac{1}{3}$,在x=2取得极大值$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$ln2;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为1,
则f′(1)=a+b+1=1,则a=-b,
故f(x)=alnx-$\frac{a}{2}$x2+x,
若f(x)-x=alnx-$\frac{a}{2}$x2≤(a+2)(-$\frac{1}{2}$x2+x)成立,
则a(x-lnx)≥x2-2x成立,
由x∈[1,e],可得lnx≤1≤x,且等号不能同时取,
所以lnx<x,即x-lnx>0.
因而a≥$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$(x∈[1,e]).                             
令g(x)=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$(x∈[1,e])
又g′(x)=$\frac{(x-1)(x+2-2lnx)}{{(x-lnx)}^{2}}$,
当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx≥0,
从而g′(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数.
故g(x)的最大值为g(e)=-1,
则a的取值范围是[-1,+∞).

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查不等式成立问题的解法,注意运用分离参数和构造函数法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

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