Question

（2011•上海）定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=

x，x≥0 1 2 x，x＜0

，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x₀）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限

lim

n→∞

f(n)

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，验证f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，即可得到结论；
（2）利用条件，构造函数f（x）=-x²，f（x）∉M，再取值验证即可；
（3）利用条件，构造函数f（x）=

x2，x≥1 x，x＜1

满足f（x）∈M，验证条件即可．

解答：解：（1）证明：由题意，当x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂时，f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
设x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

＜0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

•

x1+x2

2

=

x2

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
设x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

≥0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

•

x1+x2

2

=

-x1

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x²，f（x）∉M
取x₁=-1，x₂=1，则

f(x1)+f(x2)

2

=-1，f（

x1+x2

2

）=0
此时f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

不成立；
（3）f（x）=

x2，x≥1 x，x＜1

满足f（x）∈M，且

lim

n→∞

f(n)

n2

=

lim

n→∞

n2

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=

lim

n→∞

-n

-n

=1．

点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．