Question

【题目】如果函数f(x)＝x3－x满足：对于任意的x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，则a的取值范围是(　　)

A. [－， ]

B. [－， ]

C. (－∞，－ ]∪[，＋∞)

D. (－∞，－ ]∪[，＋∞)

Answer 1

【答案】D

【解析】∵f′(x)＝x2－1，

∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当1<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增.

∴f(x)＝x3－x在x＝1时取到极小值，也是x∈[0,2]上的最小值，

∴f(x)极小值＝f(1)＝－＝f(x)最小值，

又∵f(0)＝0，f(2)＝，

∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝，∵对于任意的x1，x2∈[0,2]，

∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，

∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝－(－)＝即可，

∴a≥或a≤－.

故选D.