Question

（2011•东城区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosC=

4

5

，c=2bcosA．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=

15

2

，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简c=2bcosA，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），将得出的sinC代入化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并整理后，再根据两角和与差的正弦函数公式得到sin（A-B）=0，根据A和B为三角形的内角，得出A-B的范围，即可得到A-B=0，即A=B，得证；
（Ⅱ）根据第一问得出的A=B，根据等角对等边可得a=b，由cosC的值及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用面积公式表示出三角形ABC的面积，把已知三角形的面积及sinC的值代入求出ab的值，再根据a与b相等，可求出a与b的值，由a，b及cosC的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵c=2bcosA，
∴根据正弦定理得：sinC=2sinB•cosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinB•cosA，
整理得：sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
在△ABC中，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴-π＜A-B＜π，
则A=B；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）A=B，可得a=b，
∵cosC=

4

5

，且C为三角形的内角，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

5

，
又△ABC的面积S=

15

2

，
∴S=

1

2

absinC=

3

10

ab=

15

2

，
即ab=a²=25，
∴a=b=5，又cosC=

4

5

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=10，
则c=

10

．（13分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．