【题目】已知f(x)=lnx+ax2﹣ax+5,a∈R.
(1)若函数f(x)在x=1处有极值,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), ;
∵f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=1+2a﹣a=0;
解得:a=﹣1;
此时 ;
当0<x<1时f′(x)>0,当x>1时f′(x)<0,符合题意;
∴实数a的值为﹣1
(2)解:∵函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
∴ 在(0,+∞)恒成立;
即2ax2﹣ax+1≥0在(0,+∞)恒成立;
当a<0时,显然不符合题意;
当a=0时,1≥0恒成立,符合题意;
当a>0时,要使 恒成立;
需 ,解得0<a≤8;
综上可知实数a的取值范围是[0,8]
【解析】(1)求导数得到 ,根据f(x)在x=1处有极值便可得到f′(1)=0,从而可求出a的值,并可验证该值成立;(2)根据f(x)在区间(0,+∞)内单调递增便可得出f′(x)≥0恒成立,进而得出2ax2﹣ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立,这样讨论a的值:a<0,a=0,和a>0这三种情况,对每种情况验证是否满足条件,从而求出实数a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】动点A(x , y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是 ,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1]
B.[1,7]
C.[7,12]
D.[0,1]和[7,12]
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【题目】分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法;在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是( )
A. 甲应付钱 B. 乙应付钱
C. 丙应付钱 D. 三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
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【题目】下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( )
A.角度和它的正切值
B.人的右手一柞长和身高
C.正方体的棱长和表面积
D.真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间
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【题目】已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利润y(单位:百万元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相关公式: , .
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【题目】为了解学生完成数学作业所需时间,某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间,图5是统计结果的频率分布直方图.
(1)数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导,试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导?
(2)现从高三年级学生中任选4人,记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为,求的分布列和期望.
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