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已知函数).

(1)当时,求函数的单调区间;

(2)函数在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由;

(3)若对任意恒成立,求a的取值范围.

 

(1)的单调增区间为,单调减区间为.(2)当时,函数有两个不同的零点;当时,函数有且仅有一个零点;当时,函数没有零点;(3)

a的取值范围是

【解析】

试题分析:(1)首先求导:,再根据导数的符号确定其单调性.时,函数单调递增;时,函数单调减;(2)首先分离参数.由,得.令),下面就利用导数研究函数性质,然后结合图象便可得知的零点的个数;(3)要使得对任意恒成立,只需的最小值大于零即可. 由,则.当时,对,有,所以函数在区间上单调递增,又,即恒成立.当时,由(1),单调递增区间为,单调递减区间为,若对任意恒成立,只需,显然不可能直接解这个不等式,下面利用导数来研究,看在什么条件下这个不等式能成立.令),,即在区间上单调递减,又,故上恒成立,也就是说当时,满足的a不存在.所以a的取值范围是

(1)由,则

,得;由,得

所以函数的单调增区间为,单调减区间为. 4分

(2)函数的定义域为,由,得), 5分

),则

由于,可知当;当时,

故函数上单调递减,在上单调递增,故. 6分

又由(1)知当时,对,有,即, .7分

(随着的增长,的增长速度越越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则会越越慢.则当无限接近于0时,趋向于正无穷大.)

时,函数有两个不同的零点;

时,函数有且仅有一个零点;

时,函数没有零点. 9分

(3)由,则

①当时,对,有,所以函数在区间上单调递增,又,即恒成立. 10分

②当时,由(1),单调递增区间为,单调递减区间为

对任意恒成立,只需, 11分

),

在区间上单调递减,又,故上恒成立, 13分

故当时,满足的a不存在.

综上所述,a的取值范围是. 14分

考点:1、导数及其应用;2、函数的零点;3、导数与不等式.

 

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