已知函数(
).
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)函数在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由;
(3)若对任意
恒成立,求a的取值范围.
(1)的单调增区间为
,单调减区间为
.(2)当
时,函数
有两个不同的零点;当
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
没有零点;(3)
a的取值范围是.
【解析】
试题分析:(1)首先求导:,再根据导数的符号确定其单调性.
时,函数
单调递增;
时,函数
单调减;(2)首先分离参数.由
,得
.令
(
),下面就利用导数研究函数
性质,然后结合图象便可得知
的零点的个数;(3)要使得
对任意
恒成立,只需
的最小值大于零即可. 由
,则
.当
时,对
,有
,所以函数
在区间
上单调递增,又
,即
对
恒成立.当
时,由(1),
单调递增区间为
,单调递减区间为
,若
对任意
恒成立,只需
,显然不可能直接解这个不等式,下面利用导数来研究,看在什么条件下这个不等式能成立.令
(
),
,即
在区间
上单调递减,又
,故
在
上恒成立,也就是说当
时,满足
的a不存在.所以a的取值范围是
.
(1)由,则
.
由,得
;由
,得
,
所以函数的单调增区间为
,单调减区间为
. 4分
(2)函数的定义域为
,由
,得
(
), 5分
令(
),则
,
由于,
,可知当
,
;当
时,
,
故函数在
上单调递减,在
上单调递增,故
. 6分
又由(1)知当时,对
,有
,即
, .7分
(随着的增长,
的增长速度越越快,会超过并远远大于
的增长速度,而
的增长速度则会越越慢.则当
且
无限接近于0时,
趋向于正无穷大.)
当时,函数
有两个不同的零点;
当时,函数
有且仅有一个零点;
当时,函数
没有零点. 9分
(3)由,则
.
①当时,对
,有
,所以函数
在区间
上单调递增,又
,即
对
恒成立. 10分
②当时,由(1),
单调递增区间为
,单调递减区间为
,
若对任意
恒成立,只需
, 11分
令(
),
,
即在区间
上单调递减,又
,故
在
上恒成立, 13分
故当时,满足
的a不存在.
综上所述,a的取值范围是. 14分
考点:1、导数及其应用;2、函数的零点;3、导数与不等式.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年天津市南开区高三第一次模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
设定义域为R的函数若关于x的方程
有7个不同的实数解,则m=( ).
(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)6
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川省高三下学期3月月考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
若变量满足约束条件
且
的最大值为
,最小值为
,则
的值是( )
(A)16 (B)24 (C)30 (D)48
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川省资阳市高三下学期4月高考模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得m,
,
,则A、B两点的距离为( )
(A)m (B)
m (C)
m (D)
m
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川省资阳市高三下学期4月高考模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设平面向量,
,函数
.
(1)当时,求函数
的取值范围;
(2)当,且
时,求
的值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川省资阳市高三下学期4月高考模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
设P是双曲线上除顶点外的任意一点,
、
分别是双曲线的左、右焦点,△
的内切圆与边
相切于点M,则
( )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)1
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川省高三二诊模拟文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
过抛物线的焦点作直线
交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则
等于 .
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