Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x，x∈R．
（1）若对于任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）-$\frac{1}{3}$在区间[-2π，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由恒成立只需f_min（x）≥a即可，求三角函数区间的最值可得；
（2）由函数图象变换可得g（x）=sinx，可得g（x）-$\frac{1}{3}$=0的零点，由三角函数的对称性可得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可得：2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∵若对任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a成立，则只需f_min（x）≥a即可．
∴可得：a∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得函数解析式为y=sin（x-$\frac{π}{6}$），
再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）=sinx，
由g（x）-$\frac{1}{3}$=0得sinx=$\frac{1}{3}$，
由图可知sinx=$\frac{1}{3}$在[-2π，4π]上有6个零点：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆．
根据对称性有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3π}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$=$\frac{5π}{2}$，
∴所有零点和为x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，考查了数形结合思想，属中档题．