Question

6．在平面直角坐标系中，给定点P（m，n），其中$m={log_3}27，n=2lg\sqrt{10}$，
（1）求过P且与直线2x+y-5=0垂直的直线l₁的方程；
（2）若直线l₂平行于过点A（m-2，n-2）和B（0，2）的直线，且这两条直线间的距离为$\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由m=log₃27=3，n=2$lg\sqrt{10}$=1．可得P（3，1）．设直线l₁的方程为：x-2y+a=0，由l₁过点P（3，1），代入解出a即可得出．
（2）由已知A（1，-1）和B（0，2），可得k_AB=-3．可得直线AB的方程为：y=-3x+2，设直线l₂：3x+y+b=0，可得两平行线l₂与AB的距离d=$\frac{|b+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2}{\sqrt{17}}$，解出b即可得出．

解答 解：（1）由m=log₃27=3，n=2$lg\sqrt{10}$=1．
∴P（3，1）．
设直线l₁的方程为：x-2y+a=0，由l₁过点P（3，1）．
解得：a=-1，故直线l₁的方程为：x-2y-1=0．
（2）由已知A（1，-1）和B（0，2），∴k_AB=$\frac{-1-2}{1-0}$=-3．
故直线AB的方程为：y=-3x+2，即：3x+y-2=0，
设直线l₂：3x+y+b=0，
两平行线l₂与AB的距离d=$\frac{|b+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2}{\sqrt{17}}$，
解得：b=-2±$\frac{2\sqrt{170}}{17}$．
故直线l₂的方程为：3x+y-2±$\frac{2\sqrt{170}}{17}$=0．

点评 本题考查了相互垂直与平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．