(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示).
(18)本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力.
解法一:
(Ⅰ)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影.
∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.
连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AFDE⊥AF.
∵ABCD是正方形,E是BC的中点,
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,由(Ⅰ)知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连结AC,设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.
在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=,
∴∠C1HC=arctan2,从而∠AHC1=π-arctan2.
故二面角C1—EF—A的大小为π-arctan2.
解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(Ⅰ)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),
E(1,,0),F(x,1,0).
∴=(1,-,-1),=(1,0,1),=(x,1,0).
∴·=1-1=0,即⊥.
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF·=0x-=0.
即x=.故当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点.又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF,即∠AHC是二面角C1—EF—A的平面角.
∵C1(1,1,1),H(,,0),
∴=(,,1),=(-,-,0).
∴cosAHC1=,
即∠AHC1=arccos(-)=π-arccos
故二面角C1—EF—A的大小为π-arccos.
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(18)如图,在多面体ABCD—A1B1C1D1中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于E,F两点,上、下底面矩形的长、宽分别为c,d与a,b,
且a>c,b>d,两底面间的距离为h.
(Ⅰ)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小;
(Ⅱ)证明:EF∥面ABCD;
(Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式
V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是
V=(S上底面+4S中截面+S下底面),试判
断V估与V的大小关系,并加以证明.
(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.)
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(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角B—EF—C的大小(结果用反三角函数值表示).
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科目:高中数学 来源:2009-2010学年度新课标高三上学期数学单元测试8-理科-立体几何初步、空间向量与立体几何 题型:解答题
(09广东理18)如图,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.
(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线平面;
(3)求异面直线所成角的正弦值.
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