分析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),求出函数y=$\frac{1}{2p}$x2的导数,求得切线的斜率和切线的方程,代入M的坐标,解方程可得p=1,进而得到抛物线的方程;
(2)设过M作抛物线2py=x2的切线的斜率为k,则过M的切线的方程为y+2p=k(x-a),与方程2py=x2联立,消去y,再由直线和抛物线相切的条件:判别式为0,以及韦达定理,即可得到结论.
解答 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=$\frac{1}{2p}$x2,得y′=$\frac{1}{p}$x,
所以在B点处的切线斜率为:k=$\frac{{x}_{2}}{p}$,
切线的方程为y-y2=$\frac{{x}_{2}}{p}$(x-x2),
由y2=$\frac{1}{2p}$x22,化简可得,x2x-p(y+y2)=0,
由x2=-1,y2=$\frac{1}{2p}$,再由点M的坐标为(1,-$\frac{3}{2}$),
可得-1-p(-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2p}$)=0,解得p=1,
即有抛物线的方程为x2=2y;
(2)设过M作抛物线2py=x2的切线的斜率为k,
则过M的切线的方程为y+2p=k(x-a),
与方程2py=x2联立,消去y,得$\frac{1}{2p}$x2-kx+ak+2p=0,
因为直线与抛物线相切,所以△=k2-4•$\frac{1}{2p}$(ak+ap)=0,
即k2-$\frac{2a}{p}$k-2a=0.由题意知,此方程两根为k1,k2,
∴k1k2=-2a(定值).
点评 本题考查抛物线的方程和运用,考查直线和抛物线相切的条件:判别式为0,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,2) | B. | (2,+∞) | C. | (-∞,-2) | D. | [2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
身高/cm | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
体重/kg | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 |
身高/cm | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
体重/kg | 20.02 | 26.86 | 31.11 | 38.85 | 47.25 | 55.05 |
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A. | {x|-1<x<4} | B. | {x|-2<x<-1或4<x<5} | C. | {x|x<-1或x>4} | D. | {x|-2<x<5} |
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