【题目】如图所示,已知椭圆 过点,离心率为,左、右焦点分别为、,点为直线上且不在轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为、和、,为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线、的斜线分别为、.
(i)证明:;
(ii)问直线上是否存在点,使得直线、、、的斜率、、、满足?若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)(i)见解析;(ii)
【解析】
(1)利用椭圆过已知点和离心率,联立方程求得a和b,则椭圆的方程可得;
(2)(i)把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标,代入直线x+y=2上,整理得;
(ii)设出A,B,C,D的坐标,联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB,进而可求得直线OA,OB斜率的和与CO,OD斜率的和,由kOA+kOB+kOC+kOD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1,分别讨论求得p.
(1)∵椭圆过点,,∴,故所求椭圆方程为;
(2)(i)由于F1(﹣1,0)、F2(1,0),PF1,PF2的斜率分别是k1,k2,且点P不在x轴上,
所以k1≠k2,k1≠0,k2≠0.又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1(x+1),y=k2(x﹣1),
联立方程解得,所以,由于点P在直线x+y=2上,
所以,故
(ii)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),联立直线PF1和椭圆的方程得,化简得(2k12+1)x2+4k12x+2k12﹣2=0,
因此,所以,
同理可得:,故由kOA+kOB+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1,
当k1+k2=0时,由(1)的结论可得k2=﹣2,解得P点的坐标为(0,2)
当k1k2=1时,由(1)的结论可得k2=3或k2=﹣1(舍去),
此时直线CD的方程为y=3(x﹣1)与x+y=2联立得x=,,所以,
综上所述,满足条件的点P的坐标分别为,P(0,2).
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为和,离心率是,直线过点交椭圆于, 两点,当直线过点时, 的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当直线绕点运动时,试求的取值范围.
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为,当时, 符合条件的共有_____个.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,设点,直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点,过、分别作直线、,使,,.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知⊙:,过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点,若直线在轴上的截距为,求的最小值.
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【题目】设。,,,是中的数所成的数列,它包含的不以1结尾的任何排列,即对于的四个数的任意一个不以1结尾的排列,,都有,,,,使得,并且,求这种数列的项数的最小值。
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【题目】下列说法:
①函数的单调增区间是;
②若函数定义域为且满足,则它的图象关于轴对称;
③函数的值域为;
④函数的图象和直线的公共点个数是,则的值可能是;
⑤若函数在上有零点,则实数的取值范围是.
其中正确的序号是_________.
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