Question

已知满足条件x²+y²≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S₁，满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S₂，（其中[x]、[y]分别表示不大于x、y的最大整数），则点（S₁，S₂）一定在（ ）
A．直线y=x左上方的区域内
B．直线y=x上
C．直线y=x右下方的区域内
D．直线x+y=7左下方的区域内

Answer 1

【答案】分析：先把满足条件x²+y²≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S₁与S₂的关系．
解答：解：满足条件x²+y²≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆；
其面积为：π
当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤x＜1，-1≤y＜0时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当-1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
∴满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为
1的正方形，其面积为：5
综上得：S₁与S₂的关系是S₁＜S₂，
则点（S₁，S₂）一定在直线y=x左上方的区域内
故选A．
点评：本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]²+[y]²≤1的平面区域不易理解．