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数列{an}的前n项和Sn与an满足:Sn=1-nan(n∈N*),求{an}的通项公式.(注意:本题用数学归纳法做,其它方法不给分)
由题意,a1=S1=1-a1,∴a1=
1
2
=
1
1×2

a2=S2-S1=(1-2a2)-(1-a1),∴a2=
1
6
=
1
2×3

猜想an=
1
n(n+1)

用数学归纳法证明如下:
(1)n=1时,结论成立;
(2)假设n=k时,结论成立,即ak=
1
k(k+1)

则n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=[1-(k+1)ak+1]-[1-k•
1
k(k+1)
],
ak=
1
(k+1)[(k+1)+1]

即猜想成立
an=
1
n(n+1)
成立.
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已知:abc是互不相等的非零实数.
求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

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设a,b均为正数,
(Ⅰ)求证:
ab
2
1
a
+
1
b

(Ⅱ)如果依次称
a+b
2
ab
2
1
a
+
1
b
分别为a,b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数.如右图,C为线段AB上的点,令AC=a,CB=b,O为AB的垂线交半圆于D.连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,请分别用图中线段的长度来表示a,b两数的几何平均数和调和平均数,并说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

用数学归纳法证明
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
n+n
1
24
(n∈N*)由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是(  )
A.
1
2(k+1)
B.
1
2k+1
+
1
2k+2
C.
1
2k+1
+
1
2k+2
-
1
k+1
D.
1
2k+1
+
1
2k+2
-
1
k+1
-
1
k+2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
,n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数,于是他猜想:是否存在常数a,b,1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1)(n+2)(an+b)
12
.对于一切n∈N*都立?
(1)若n=1,2时猜想成立,求实数a,b的值.
(2)若该同学的猜想成立,请你用数学归纳法证明.若不成立,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数上有意义,且,如果对于不同的,都有,求证:。那么他的反设应该是___________.

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若复数满足 (为虚数单位),则的共轭复数     

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已知是实数(是虚数单位),则实数的值为(   )
A.B.C.D.

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已知为正整数,用数学归纳法证明时,若已假设为偶数)真,则还需利用归纳假设再证(   )
A、时等式也成立   B时等式也成立 
C、时等式也成立   D、时等式也成立

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