Question

设a为实常数，已知函数在区间[1，2]上是增函数，且在区间[0，1]上是减函数。

(Ⅰ)求常数的值；

(Ⅱ)设点P为函数图象上任意一点，求点P到直线距离的最小值；

（Ⅲ）若当且时，恒成立，求的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ）

（Ⅲ）(－∞，1]

解析:

(Ⅰ)因为在区间[1，2]上是增函数，则

当x∈[1，2]时，恒成立，即恒成立，所以。        （2分）

又在区间[0，1]上是减函数，则

当x∈(0，1]时，恒成立，即恒成立，所以。

综上分析，。                                                          （4分）

 (Ⅱ)因为，则。

令，则，。

所以函数图象上点处的切线与直线平行。         （6分）

设所求距离的最小值为d，则d为点到直线的距离，

故。                                                （8分）

(Ⅲ)因为，则。因为当时，，所以在(0，1]上是减函数，从而。               （9分）

因为当时，恒成立，则。         （10分）

又当时，恒成立，则在时恒成立。    （11分）

因为在时是减函数，所以，从而，即。

故b的取值范围是(－∞，1]。                                                   (13分)