Question

3．（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．  
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）先通过条件得到a，b同奇偶，然后分别讨论若a，b同为偶数与同为奇数两种情形，然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$），运用三元基本不等式即可得证．

解答 证明：（1）f（0）=c为奇数，
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数，
所以a，b同奇偶，
假设整数根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0，
若a，b同为偶数，则at²+bt为偶数，
所以at²+bt+c为奇数可得at²+bt+c≠0
与at²+bt+c=0矛盾；
若a，b同为奇数，若t为偶数则at²+bt为偶数，
若t为奇数则at²+bt为偶数，
所以 at²+bt+c为奇数 可得at²+bt+c≠0与at²+bt+c=0矛盾．
综上所述方程f（x）=0无整数根；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）
≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，
当且仅当a=b=c，取得等号．
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，同时考查不等式的证明，注意运用基本不等式，属于中档题．