分析 (1)由已知条件先求出椭圆C的半焦距,再把(0,1)代入椭圆方程,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可
解答 解:(1)∵椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的焦距为2$\sqrt{2}$,且经过点(0,1),
∴根据题意得:c=$\sqrt{2}$,即c2=a2-b2=2①,
把(0,1)代入椭圆方程得:b2=1,
把b2=1代入①得:a2=3,
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1;
(2)直线BM与直线DE平行.
证明如下:
∵AB过点D(1,0)且垂直于x轴,
∴可设A(1,y1),B(1,-y1),
∵E(2,1),∴直线AE的方程为:y-1=(1-y1)(x-2),
令x=3,得M(3,2-y1),
∴直线BM的斜率kBM=$\frac{2-{y}_{1}+{y}_{1}}{3-1}$=1.
当直线AB的斜率不存在时,kBM=1.
又∵直线DE的斜率kDE=$\frac{1-0}{2-1}$=1,∴BM∥DE;
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AE的方程为y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$(x-2),
令x=3,则点M(3,$\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$),
∴直线BM的斜率kBM=$\frac{\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{y=k(x-1)}\end{array}\right.$,得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
由韦达定理,得x1+x2=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$,
∵kBM-1=$\frac{k({x}_{1}-1)+{x}_{1}-3-k({x}_{2}-1)({x}_{1}-2)-(3-{x}_{2})({x}_{1}-2)}{(3-{x}_{2})({x}_{1}-2)}$
=$\frac{(k-1)[-{x}_{1}{x}_{2}+2({x}_{1}+{x}_{2})-3]}{(3-{x}_{2})({x}_{1}-2)}$
=$\frac{(k-1)(\frac{-3{k}^{2}+3}{1+3{k}^{2}}+\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}-3)}{(3-{x}_{2})({x}_{1}-2)}$
=0,
∴kBM=1=kDE,即BM∥DE;
综上所述,直线BM与直线DE平行.
点评 本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ |
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A. | [-$\frac{π}{4}$+kπ,$\frac{π}{4}$+kπ](k∈Z) | B. | [$\frac{π}{4}$+kπ,$\frac{3π}{4}$+kπ](k∈Z) | C. | [-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$,$\frac{kπ}{2}$](k∈Z) | D. | [$\frac{kπ}{2}$,$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$](k∈Z) |
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