Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x），f'（x）（x﹣1）＞0，则对任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的（ ）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由f（x）=f（2﹣x），得函数关于x=1对称，
由f'（x）（x﹣1）＞0得，
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，
若x1＜x2 ， 当x2≤1，函数为减函数，满足对任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2），
此时x1+x2＜2，
若x2＞1，
∵函数f（x）关于x=1对称，则f（x2）=f（2﹣x2），
则2﹣x2＜1，
则由f（x1）＞f（x2）得f（x1）＞f（x2）=f（2﹣x2），
此时函数在x＜1时为减函数，
则x1＜2﹣x2 ， 即x1+x2＜2，
即对任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）得x1+x2＜2，
反之也成立，
即对任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的充要条件，
故选：B