Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，有f（x）=

2 π |x-π|，x＞ π 2 sinx，0≤x≤ π 2

，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，且α是四个根中最大根，则α=

3π

2

．

Answer 1

分析：因为y=f（x）是R上的偶函数，要使关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，则只需当x≥0时，方程f（x）=m（m∈R）有且仅有2个不同的实数根即可，做出函数f（x）在x≥0的图象由图象即可判断．

解答：解：要使关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，则只需当x≥0时，方程f（x）=m（m∈R）有且仅有2个不同的实数根即可，
做出函数f（x）在x≥0的图象如图：
由图象可知，当x=

π

2

时f（

π

2

）=1.

2

π

•|

π

2

-π|=1，
当根据图象可知要使f（x）=m（m∈R）有且仅有2个不同的实数根，则m=1，
此时由

2

π

|x-π|=1得x=

π

2

或x=

3π

2

．
故答案为：

3π

2

．

点评：本题主要考查函数性质的应用以及函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．