Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=f（x），a_n+1=f（a_n）．
（1）求a₂，a₃，a₄．
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=f（x），a_n+1=f（a_n），分别令n=1，2，3即可求得a₂，a₃，a₄．
（2）根据（1）可猜数列{a_n}的通项公式an=

x

1+nx2

，分两步用数学归纳法证明：①先证n=1时的情形；②假设当n=k时，结论成立，然后证明n=k+1时成立即可得到结论；

解答：解：（1）由a₁=f（x），a_n+1=f（a_n）得：
a2=f(a1)=

a1

1+a12

=

x

1+2x2

，a3=f(a2)=

a2

1+a22

=

x

1+3x2

，a4=f(a3)=

a3

1+a32

=

x

1+4x2

；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式an=

x

1+nx2

．
证明：（1）当n=1时，结论显然成立；
（2）假设当n=k时，结论成立，即ak=

x

1+kx2

．
则当n=k+1时，an+1=f(an)=

x 1+kx2

1+( x 1+kx2 )2

=

x

1+(k+1)x2

．
显然，当n=k+1时，结论成立．
由（1）、（2）可得，数列{a_n}的通项公式an=

x

1+nx2

．

点评：本题考查数列递推式、数列的函数特性及数学归纳法，属中档题．