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【题目】已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1), , 记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)﹣m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.

【答案】解:(1)F(x)=2f(x)+g(x)=(a>0且a≠1)
,可解得﹣1<x<1,
所以函数F(x)的定义域为(﹣1,1)
令F(x)=0,则…(*)
方程变为,即(x+1)2=1﹣x,即x2+3x=0
解得x1=0,x2=﹣3,经检验x=﹣3是(*)的增根,所以方程(*)的解为x=0
即函数F(x)的零点为0.
(2)方程可化为m=
=
,设1﹣x=t∈(0,1]
函数y=t+在区间(0,1]上是减函数
当t=1时,此时x=0,ymin=5,所以am≥1
①若a>1,由am≥1可解得m≥0,
②若0<a<1,由am≥1可解得m≤0,
故当a>1时,实数m的取值范围为:m≥0,
当0<a<1时,实数m的取值范围为:m≤0
【解析】(1)可得F(x)的解析式,由可得定义域,令F(x)=0,由对数函数的性质可解得x的值,注意验证即可;
(2)方程可化为 , 设1﹣x=t∈(0,1],构造函数y=t+ , 可得单调性和最值,进而可得吗的范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的零点与方程根的关系的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二次函数的零点:(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点;(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.

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