Question

（2011•洛阳二模）已知函数f（x）=（ax²-2x+a）e^-x
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g(x)=-

f′(x)

e-x

-a-2，h(x)=

1

2

x2-2x-lnx，若x＞l时总有g（x）＜h（x），求实数c范围．

Answer 1

分析：（I）当a=l时，确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造F（x）=g（x）-h（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx（x＞1），x＞l时总有g（x）＜h（x），等价于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．

解答：解：（I）当a=l时，f（x）=（ax²-2x+a）e^-x，其定义域为R
求导函数可得：f′（x）=-（x-1）（x-3）e^-x，
由f′（x）＞0，可得1＜x＜3；由f′（x）＜0，可得x＜1或x＞3
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3），单调递减区间为（-∞，1），（3，+∞）；
（Ⅱ）∵f′（x）=-[ax²-2（a+1）x+a]e^-x，∴g（x）=ax²-2（a+1）x
令F（x）=g（x）-h（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx（x＞1）
x＞l时总有g（x）＜h（x），等价于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立
求导函数，可得F′（x）=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

①若a＞

1

2

，令F′（x）=0，得x₁=1，x₂=

1

2a-1

当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（1，x₂）上，F′（x）＜0，则函数单调递减，在（x₂，+∞）上，F′（x）＞0，则函数单调递增，故函数的值域为[F（x₂），+∞），不合题意，舍去；
②若a≤

1

2

，即2a-1≤0时，在（1，+∞）上，F′（x）＜0，则函数单调递减，∴F（x）＜F（1）=-a-

1

2

≤0，∴-

1

2

≤a≤

1

2

，
综上，a的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．