Question

设函数f(x)=sinωx+2

3

sin2

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期为

2π

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将y=f（x）的图象向左平移

π

2

个单位可得y=g（x）的图象，求不等式g(x)≥2

3

的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和两角差的正弦公式，对解析式进行化简后，由函数的周期求出ω的值，即求出函数的解析式；
（Ⅱ）先由“左加右减”求出函数的解析式，再把“3x-

π

3

”看成一个整体，利用正弦函数的性质和条件，列出不等式求出它的解集．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sinωx+2

3

sin2

ωx

2

=sinωx+

3

(1-cosωx)=2sin(ωx-

π

3

)+

3

，
∴由函数f（x）的周期T=

2π

ω

=

2π

3

，可得ω=3
∴f(x)=2sin(3x-

π

3

)+

3

（Ⅱ）由题意得，g(x)=f(x+

π

2

)
=2sin[3(x+

π

2

)-

π

3

]+

3

=2sin(3x+

7π

6

)+

3

∴由g(x)≥2

3

，得sin(3x+

7π

6

)≥

3

2

，
∴2kπ+

π

3

≤3x+

7π

6

≤2kπ+

2π

3

，(k∈Z)
∴

2kπ

3

-

5π

18

≤x≤

2kπ

3

-

π

6

，(k∈Z)．
∴所求不等式的解集为{x|

2kπ

3

-

5π

18

≤x≤

2kπ

3

-

π

6

，(k∈Z)}．

点评：本题考查了三角恒等变换的公式和正弦函数性质的应用，主要利用对应的公式对解析式化简后，利用“左加右减”的基本法则求函数的解析式，利用“整体思想”进行求解，要求熟练掌握公式并能灵活运用．