Question

下列四个函数：①f(x)=-

1

x

②f（x）=|x+1|③f(x)=

1

2

(a-x-ax)(0＜a＜1)④y=ln|x|，则同时满足：f（-x）+f（x）=0且当x₁、x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0的函数个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由条件可得，本题即判断所给的各个函数中，同时满足既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的函数的个数．逐一检验各个选项中的函数，可得结论．

解答：解：由f（-x）+f（x）=0可得，函数f（x）是奇函数；再根据当x₁、x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
可得函数在（0，+∞）上是增函数．
本题即判断所给的各个函数中，同时满足既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的函数的个数．
对于函数：①f(x)=-

1

x

，显然满足既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的函数．
对于②f（x）=|x+1|，由于不是奇函数，故排除．
对于③f(x)=

1

2

(a-x-ax)(0＜a＜1)，显然满足既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的函数．
杜宇④y=ln|x|，由于它是偶函数，故排除．
综上，只有①③满足条件，
故选B．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，体现了转化的数学思想，属于中档题．