Question

4．已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x+5；函数g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，由已知可得$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=5\\ c=1\end{array}\right.$，解得f（x）的解析式；
（2）若g（2）=9，则a=3，若g[f（x）]≥k对x∈[-1，1]恒成立，则k不大于函数的最小值，进而可得答案．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=5\\ c=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=4\\ c=1\end{array}\right.$
∴f（x）=x²+4x+1；
（2）若g（2）=9，则a²=9，
解得：a=3，
当x∈[-1，1]时，f（x）∈[-2，6]，
g[f（x）]∈[$\frac{1}{9}$，729]，
若g[f（x）]≥k对x∈[-1，1]恒成立，
则k≤$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，难度中档．