Question

已知0＜ω＜2，设f（x）=cos²ωx+sinωxcosωx
（1）若f（x）的周期为2π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）图象的一条对称轴为ω的值．

Answer 1

解：（1）f（x）=cos²ωx+sinωxcosωx
=（1+cos2ωx）+sin2ωx
=cos2ωx+sin2ωx+
=sin（2ωx+）+
由T==2π，得ω=
∴f（x）=sin（x+）+
由2kπ-≤x+≤2kπ+，得2kπ-≤x≤2kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z
（2）∵x=是函数图象的一条对称轴，
∴2ω×+=kπ+，即ω=3k+1，k∈Z
又0＜ω＜2，
∴当k=0时，ω=1即为所求
分析：（1）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用周期计算公式，求得ω值，最后通过解不等式求得函数的单调增区间；
（2）利用函数y=sinx的对称轴方程为x=kπ+，将f（x）的对称轴代入内层函数得ω的值，再由已知范围，确定ω的值
点评：本题考查了三角变换公式在化简三角函数式中的应用，y=Asin（ωx+φ）型函数的周期性和单调性、对称性，整体代入的思想方法