Question

过直线y=﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y=x²的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．

Answer 1

（1）设过A作抛物线y=x²的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k₁，k₂必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k₁•k₂为定值
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标都适合方程2ax﹣y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1=0，该线过定点（0，1）故证得．

试题分析：（1）设过A作抛物线y=x²的切线的斜率为k，
则切线的方程为y+1=k（x﹣a），
与方程y=x²联立，消去y，得x²﹣kx+ak+1=0．
因为直线与抛物线相切，所以△=k²﹣4（ak+1）=0，
即k²﹣4ak﹣4=0．由题意知，此方程两根为k₁，k₂，
∴k₁k₂=﹣4（定值）．（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由y=x²，得y′=2x．
所以在P点处的切线斜率为：，
因此，切线方程为：y﹣y₁=2x₁（x﹣x₁）．
由y₁=x₁²，化简可得，2x₁x﹣y﹣y₁=0．
同理，得在点Q处的切线方程为2x₂x﹣y﹣y₂=0．
因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x₁a﹣y₁+1=0，2x₂a﹣y₂+1=0．
∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1=0．
当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）．（10分）
点评：本题考查转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线过定点的问题 转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．