Question

12．圆x²+y²-2x-5=0与圆x²+y²+2x-4y-4=0的交点为A，B，
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）线段AB的垂直平分线的方程，即两圆的圆心的连线MN，用两点式求得MN的方程．
（2）先求得公共弦AB的方程为 4x+4y-1=0，由于圆N的半径为3，求得点N到AB的距离为d，再利用弦长公式求得线段AB的长．

解答 解：（1）圆M：x²+y²-2x-5=0，即 （x-1）²+y²=6，表示以M（1，0）为圆心、半径等于$\sqrt{6}$的圆．
圆N：x²+y²+2x-4y-4=0，即（x+1）²+（y-2）²=9，表示以N（-1，2）为圆心、半径等于3的圆．
由于两圆的交点为A，B，故AB为公共弦，故AB的垂直平分线即两圆的圆心的连线MN，
故线段AB的垂直平分线的方程为 $\frac{y-0}{2-0}$=$\frac{x-1}{-1-1}$，即 x+y-1=0．
（2）把两圆的方程相减，可得公共弦AB的方程为 4x+4y-1=0，
圆N的半径为3，点N（-1，2）到AB的距离为d=$\frac{|-4+8-1|}{\sqrt{16+16}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，故弦长AB=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{9-\frac{18}{64}}$=$\frac{3\sqrt{62}}{4}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．