Question

（文科） 在数列{a_n}中，如果对任意n∈N⁺都有=p（p为非零常数），则称数列{a_n}为“等差比”数列，p叫数列
{a_n}的“公差比”．
（1）已知数列{a_n}满足a_n}=-3•2ⁿ+5（n∈N⁺），判断该数列是否为等差比数列？
（2）已知数列{b_n}（n∈N⁺）是等差比数列，且b₁=2，b₂=4公差比p=2，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）记S_n为（2）中数列{b_n}的前n项的和，证明数列{S_n}（n∈N⁺）也是等差比数列，并求出公差比p的值．

Answer 1

解：（1）因为数列{a_n}满足a_n=-3•2ⁿ+5（n∈N⁺），
所以==2（n∈N⁺）；
所以，数列{a_n}是等差比数列，且公差比p=2．
（2）因为数列{b_n}是等差比数列，且公差比p=2，
所以，=2（n≥2），即数列{b_n-b_n-1}是以（b₂-b₁）为首项，公比为2的等比数列；
b_n-b_n-1=（b₂-b₁）•2^n-2=2^n-1（n≥2）；
于是，b_n-b_n-1=2^n-1，b_n-1-b_n-2=2^n-2，…，b₂-b₁=2；
将上述n-1个等式相加，得
b_n-b₁=2+2²+2³+…+2^n-1==2ⁿ-2；
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ（n∈N⁺）．
（3）由（2）可知，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2；
于是，==2（n∈N⁺）；
所以，数列{s_n}是等差比数列，且公差比为p=2．
分析：（1）把数列{a_n}的通项a_n=-3•2ⁿ+5代入定义公式，可证得{a_n}是等差比数列．
（2）由等差比数列的定义知，=2（n≥2），得数列{b_n-b_n-1}是等比数列，其通项公式为b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）；用叠加法可得b_n-b₁=…=2ⁿ-2；从而得数列{b_n}的通项公式．
（3）由s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=…=2ⁿ⁺¹-2；代入定义公式，可证得数列{s_n}是等差比数列，且公差比为2．
点评：本题以新定义公式为载体，考查了等比数列的通项公式，前n项和公式的灵活应用；也考查了一定的计算能力，是中档题．