Question

【题目】已知函数f（x）= +lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．
（I）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定义域为（0，+∞） = （x＞0
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调增区间为（0，1），
函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）. ，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
即 在[1，2]
或 恒成立．
或
即 或 在[1，2]恒成立．
即 或
令 ，因函数h（x）在[1，2]上单调递增．
所以 或 或 ，解得a＜0或 或a≥1
【解析】（I）由a=1得f（x）的解析式，求导，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分别得出x的取值范围，即f（x）的单调区间；（II）由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分离出a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a的不等式，求解得a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．