Question

16．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面EAD是正三角形，平面EAD⊥平面ABCD为正方形，P为EC的中点．
（1）求证：EA∥平面PBD；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求三棱锥E-PBD的体积及点P到平面EBD的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AC，与BD交于点O，连接OP，则O是AC的中点，OP∥AE，即可证明EA∥平面PBD；
（2）三棱锥E-PBD的体积=三棱锥E-BCD的体积-三棱锥P-BDC的体积，利用体积公式，可求点P到平面EBD的距离．

解答 （1）证明：如图，连结AC，与BD交于点O，连接OP，则O是AC的中点，
又P为EC的中点，∴OP∥AE．
又∵AE?平面PBD，OP?PBD，
∴EA∥平面PBD；
（2）解：三棱锥E-PBD的体积=三棱锥E-BCD的体积-三棱锥P-BDC的体积
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
△EBD中，ED=2，BD=2$\sqrt{2}$，EB=2$\sqrt{2}$，
∴S_△EBD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
设P到平面EBD的距离为h，则$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×h$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查三棱锥的体积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．