Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．

（1）证明：ED∥面PAB；

（2）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明过程如解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．

∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．

又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，

则四边形ADEF是平行四边形．

∴DE∥AF，又DE面ABP，AF面ABP，∴ED∥面PAB

（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，

∴四边形ADCM是平行四边形，

∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．

过D作DG⊥AC于G，

∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．

过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在△ADC中，，连接AE，．

在Rt△GDH中，，

∴，

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值

法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．

∴四边形ADCM是平行四边形，

∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，

∴AB⊥AC．

∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．

如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．

可得，．

设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，

解得．

则，，．

设面PDC的一个法向量为，

由，取x0=1，得．

为面PAC的一个法向量，且，

设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，

则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．