Question

1．已知函数f（x）=a³lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+a²）x（a∈R），g（x）=3x²lnx-2x²-x．
（Ⅰ）求证：g（x）在区间[2，4]上单调递增；
（Ⅱ）若a≥2，函数f（x）在区间[2，4]上的最大值为G（a），求G（a）的解析式，并判断G（a）是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69＜ln2＜0.7）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的导数，设h（x）=6xlnx-x-1，求出h（x）的导数，运用单调性即可得证；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得单调区间，极值和当2≤a≤4时，a＞4时的最大值，结合零点存在定理，以及函数的单调性即可判断G（a）有最小值，没有最大值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵g（x）=3x²lnx-2x²-x，
∴g′（x）=6xlnx-x-1，
设h（x）=6xlnx-x-1，则h′（x）=6lnx+5，
∴当2＜x＜4时，h′（x）＞0，∴h（x）在区间（2，4）上单调递增．
∵h（2）=3（4ln2-1）＞0，
∴当2＜x＜4时，h（x）＞h（2）＞0．
∴g（x）在区间[2，4]上单调递增．
（Ⅱ）∵f（x）=a³lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+a²）x，
∴f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=$\frac{{a}^{3}}{x}$+x-（a+a²），
即f′（x）=$\frac{（x-a）（x-{a}^{2}）}{x}$．
∵a≥2，∴a＜a²，
当x变化时，f（x）、f′（x）变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，a2）	a2	（a2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

∴当2≤a≤4时，a²≥4，f（x）在区间[2，4]上的最大值是f（a）=a³lna-a³-$\frac{1}{2}$a²．
当a＞4时，f（x）在区间[2，4]上的最大值为f（4）=2a³ln2-4a²-4a+8．
即G（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}lna-{a}^{3}-\frac{1}{2}{a}^{2}（2≤a≤4）}\\{2{a}^{3}ln2-4{a}^{2}-4a+8（a＞4）}\end{array}\right.$，
（1）当2＜a＜4时，G′（a）=3a²lna-2a²-a．
由（Ⅰ）知，G′（a）在（2，4）上单调递增．
又G′（2）=2（6ln2-5）＜0，G′（4）=12（8ln2-3）＞0，
∴存在唯一a₀∈（2，4），使得G′（a₀）=0，
且当2＜a＜a₀时，G′（a）＜0，G（a）单调递减，
当a₀＜a＜4时，G′（a）＞0，G（a）单调递增．
∴当2≤a≤4时，G（a）有最小值G（a₀）．
（2）当a＞4时，
G′（a）=6a²ln2-8a-4=6ln2（a-$\frac{2}{3ln2}$）²-$\frac{8}{3ln2}$-4，
∴G′（a）在（4，+∞）单调递增．
又G′（4）=12（8ln2-3）＞0，
∴当a＞4时，G′（a）＞0．∴G（a）在（4，+∞）上单调递增．
综合（1）（2）及G（a）解析式可知，G（a）有最小值，没有最大值．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用和零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．