精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
1.已知函数f(x)=a3lnx+$\frac{1}{2}$x2-(a+a2)x(a∈R),g(x)=3x2lnx-2x2-x.
(Ⅰ)求证:g(x)在区间[2,4]上单调递增;
(Ⅱ)若a≥2,函数f(x)在区间[2,4]上的最大值为G(a),求G(a)的解析式,并判断G(a)是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据:0.69<ln2<0.7).

分析 (Ⅰ)求出g(x)的导数,设h(x)=6xlnx-x-1,求出h(x)的导数,运用单调性即可得证;
(Ⅱ)求出f(x)的导数,求得单调区间,极值和当2≤a≤4时,a>4时的最大值,结合零点存在定理,以及函数的单调性即可判断G(a)有最小值,没有最大值.

解答 解:(Ⅰ)证明:∵g(x)=3x2lnx-2x2-x,
∴g′(x)=6xlnx-x-1,
设h(x)=6xlnx-x-1,则h′(x)=6lnx+5,
∴当2<x<4时,h′(x)>0,∴h(x)在区间(2,4)上单调递增.
∵h(2)=3(4ln2-1)>0,
∴当2<x<4时,h(x)>h(2)>0.
∴g(x)在区间[2,4]上单调递增.
(Ⅱ)∵f(x)=a3lnx+$\frac{1}{2}$x2-(a+a2)x,
∴f(x)的定义域是(0,+∞),且f′(x)=$\frac{{a}^{3}}{x}$+x-(a+a2),
即f′(x)=$\frac{(x-a)(x-{a}^{2})}{x}$.
∵a≥2,∴a<a2
当x变化时,f(x)、f′(x)变化情况如下表:

x(0,a)a(a,a2a2(a2,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大极小
∴当2≤a≤4时,a2≥4,f(x)在区间[2,4]上的最大值是f(a)=a3lna-a3-$\frac{1}{2}$a2
当a>4时,f(x)在区间[2,4]上的最大值为f(4)=2a3ln2-4a2-4a+8.
即G(a)=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}lna-{a}^{3}-\frac{1}{2}{a}^{2}(2≤a≤4)}\\{2{a}^{3}ln2-4{a}^{2}-4a+8(a>4)}\end{array}\right.$,
(1)当2<a<4时,G′(a)=3a2lna-2a2-a.
由(Ⅰ)知,G′(a)在(2,4)上单调递增.
又G′(2)=2(6ln2-5)<0,G′(4)=12(8ln2-3)>0,
∴存在唯一a0∈(2,4),使得G′(a0)=0,
且当2<a<a0时,G′(a)<0,G(a)单调递减,
当a0<a<4时,G′(a)>0,G(a)单调递增.
∴当2≤a≤4时,G(a)有最小值G(a0).
(2)当a>4时,
G′(a)=6a2ln2-8a-4=6ln2(a-$\frac{2}{3ln2}$)2-$\frac{8}{3ln2}$-4,
∴G′(a)在(4,+∞)单调递增.
又G′(4)=12(8ln2-3)>0,
∴当a>4时,G′(a)>0.∴G(a)在(4,+∞)上单调递增.
综合(1)(2)及G(a)解析式可知,G(a)有最小值,没有最大值.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查函数的单调性的运用和零点存在定理的运用,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在f(x)=2x的图象上,若a1=-2,点(a8,4a7)在图象上,求an的前n项和.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|.
(1)求|z|;
(2)是否存在实数m,是$\frac{z}{m}$+$\frac{m}{z}$为实数,若存在,求出m值;若不存在,说明理由;
(3)若(1-2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数z.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cosα,sinα),$\overrightarrow{b}$=(cosβ,sinβ),|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$.
(1)求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值;
(2)若0<α<$\frac{π}{2}$,-$\frac{π}{2}$<β<0,且sinβ=-$\frac{3}{5}$,求sin(α+β)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.“直线l垂直于平面α内两直线a,b”是“直线l⊥平面α”的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.数列{an}的通项公式an=2n-1,则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{2n+1}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知向量$\overrightarrow{m}$=(2cosx+2$\sqrt{3}$sinx,1),向量$\overrightarrow{n}$=(cosx,-y),且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$.
(Ⅰ)将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知A,B,C分别为△ABC的三个内角,若f($\frac{A}{2}$)=3,且sinBsinC=$\frac{3}{4}$,试判断△ABC的形状.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知等差数列{an}中,a2=8,其前10项的和S10=185,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取第3项,第9项,第27项…第3n项…并按原来的顺序组成一个新的数列{bn},求数列{bn}的前n项和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.以下判断正确的是(  )
A.“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件.
B.命题“存在x∈R,x2+x-1<0”的否定是“任意x∈R,x2+x-1>0”
C.命题“在△ABC中,若A>B则sinA>sinB”的逆命题为假命题.
D.函数y=f(x)为R上的可导函数,则f′(x0)=0是x0为函数f(x)极值点的充要条件.

查看答案和解析>>

同步练习册答案