Question

【题目】定义函数 ，其中x为自变量，a为常数． （I）若当x∈[0，2]时，函数fa（x）的最小值为一1，求a之值；
（II）设全集U=R，集A={x|f3（x）≥fa（0）}，B={x|fa（x）+fa（2﹣x）=f2（2）}，且（UA）∩B≠中，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令t=2x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，

设φ（t）=t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]

1°当 ，即a≤1时，fmin（x）=φ（1）=0，与已知矛盾；

2°当 ，即 ，

解得a=3或a=﹣1，∵1＜a＜7，∴a=3；

3°当 ，即a≥7，fmin（x）=φ（4）=16﹣4a﹣4+a=1，

解得 ，但与a≥7矛盾，故舍去

综上所述，a之值为3

（Ⅱ）UA={x|4x﹣42x+3＜0}={x|0＜x＜log23}

B={x|4x﹣（a+1）2x+a+42﹣x﹣（a+1）22﹣x+a=6}= ．

由已知（UA）∩B≠即 ﹣（a+1）（ ）+2a﹣6=0在（0，log23）内有解，

令t= ，则t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，

也等价于方程 在t∈[4，5）上有解

∵ 在t∈[4，5）上单调递增，

∴h（t）∈[﹣1，2）

故所求a的取值范围是[﹣1，2）

【解析】（I）若当x∈[0，2]时，换元，得到φ（t）=t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]，分类讨论，利用函数fa（x）的最小值为﹣1，求a之值；（II）令t= ，则t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，也等价于方程 在t∈[4，5）上有解，利用基本不等式，即可求a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的交集运算(交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立)，还要掌握函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)的相关知识才是答题的关键．