Question

函数f（x）=min{2

x

， |x-2|}，其中min{a，b}=

a， a≤b b， a＞b

，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x₁、x₂、x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A、（2，6-2

  3

  ）
• B、（2，

  3

  +1）
• C、（4，8-2

  3

  ）
• D、（0，4-2

  3

  ）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通过解方程可用m把x₁，x₂，x₃分别表示出来，即可求出得x₁+x₂+x₃的取值范围

解答： 解：作出函数f（x）的图象如下图所示：
由

y=2 x y=|x-2|

，解得A（4-2

3

，2

3

-2），
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2

3

-2．
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2

x1

=m得x₁=

m2

4

，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁+x₂+x₃=

m2

4

+（2-m）+（2+m）=

m2

4

+4，
当m=0时，

m2

4

+4有最小值为4，
当m=2

3

-2时，

m2

4

+4有最大8-2

3

，
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是（4，8-2

3

，）
故选：C

点评：本题考查函数与方程的综合运用，以及数形结合思想，综合运用知识分析解决新问题的能力，属于中档题．