Question

已知函数f（x）=

1

2

cos²x-

3

sinxcosx-

1

2

sin²x+1（x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

9

5

，x₀∈[-

π

6

，

π

6

]求cos2x₀的值．

Answer 1

∵f（x）=

1

2

cos²x-

3

sinxcosx-

1

2

sin²x+1
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=cos(2x+

π

3

)+1
（1）函数的周期T=π
∵0≤x≤

π

2

∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

3

)≤

1

2

∴0≤f（x）≤2，即函数的最大值为2，最小值0
（2）∵f（x₀）=cos（2x₀+

π

3

）+1=

9

5

，x₀∈[-

π

6

，

π

6

]
∴cos（2x₀+

π

3

）=

4

5

∵x₀∈[-

π

6

，

π

6

]
∴2x0+

π

3

∈[0，

2π

3

]，sin（2x0+

π

3

）=

3

5

cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

）-

π

3

]=cos(2x0+

π

3

)cos

π

3

+sin(2x0+

π

3

)sin

π

3

=

1

2

×

4

5

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

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