Question

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，那么以B，C为焦点且过点D，E的双曲线的离心率是________．

Answer 1

分析：设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则E的坐标为（ ，），由题意知可设双曲线的方程为 =1，把E的坐标代入双曲线的方程化简可得4a⁴-8a²c²+c⁴=0，求得 的值，即可得到 的值．
解答：由向量 ，可得DE是△ABC的中位线，
设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
则E的坐标为（ ，），
由题意知可设双曲线的方程为=1，
把E的坐标代入双曲线的方程得-=1，∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0，
∵＞1，∴=4+2 ，∴=+1，
故答案为：．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出E的坐标为（ ，），是解题的关键．