【题目】如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径.
(1)若圆柱的体积为,,,求异面直线与所成的角(用反三角函数值表示结果);
(2)若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,四面体的外接球为球,求两点在球上的球面距离.
【答案】(1)异面直线与所成的角为;(2).
【解析】
(1)由题设条件,以O为原点,分别以OB,OO1为y,z轴的正向,并以AB的垂直平分线为x轴,建立空间直角坐标系,求出与的坐标,用公式求出线线角的余弦即得.
(2)由题意找到球心并求得R与∠AGB,即可求出A,B两点在球G上的球面距离.
(1)以O为原点,分别以OB,OO1为y,z轴的正向,并以AB的垂直平分线为x轴,
建立空间直角坐标系.
由题意圆柱的体积为=4,解得AA1=3.
易得各点的坐标分别为:A(0,﹣2,0),,A1(0,﹣2,3),B(0,2,0).
得,,
设与的夹角为θ,异面直线A1B与AP所成的角为α,
则,得,
即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos.
(2)由题意得AA1=2,OB=1,四面体的外接球球心在A1B的中点,所以R=,此时=,所以两点在球上的球面距离为.
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【题目】已知椭圆:的左右焦点分别为,,,为椭圆上的两动点,且以,,,四个点为顶点的凸四边形的面积的最大值为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆经过点,且直线的斜率是直线,的斜率的等比中项,求面积的取值范围.
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【题目】如图,在平面四边形中,等边三角形,,以为折痕将折起,使得平面平面.
(1)设为的中点,求证:平面;
(2)若与平面所成角的正切值为,求二面角的余弦值.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面是矩形,,,,且.
(1)求证:平面平面;
(2)设是的中点,判断并证明在线段上是否存在点,使平面,若存在,求点到平面的距离.
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【题目】某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查,得到的统计数据如表所示:
积极参加班级工作 | 不积极参加班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性不高 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
如果随机调查这个班的一名学生,求事件A:抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率;
若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生,现从中抽取两名学生参加某项活动,请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果;
在的条件下,求事件B:两名学生中恰有1名男生的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
Ⅰ应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的数学期望和方差;
设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
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