Question

已知θ∈（0，2π）且sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的两根，则k的值为

-1

．

Answer 1

分析：根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围．

解答：解：∵sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的两根，
∴

sinθ+cosθ=k       ① sinθcosθ=k+1       ②

，
①平方得，1+2sinθcosθ=k²，将②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
当k=3时，sinθcosθ=4，这与sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，
当k=-1时，经验证符合条件．
则k的值为-1，
故答案为：-1．

点评：本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围．