Question

【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形

（1）求的值

（2）求出的表达式

（3）求证：当时，

Answer 1

【答案】（1）61（2）f（n）=2n2﹣2n+1；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据列举法找规律，得到的值；（2）同样根据列举法找规律 ，根据累加法得到的表达式；（3）根据（2）的结果，代入可得，利用累加法求和，再根据数列的单调性证明不等式.

试题解析：解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，

f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，

f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61；

（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，

f（3）﹣f（2）=8=4×2，

f（4）﹣f（3）=12=4×3，

f（5）﹣f（4）=16=4×4，

由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．

∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），

f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4（n﹣3），

…

f（2）﹣f（1）=4×1，

∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]

=2（n﹣1）n，

∴f（n）=2n2﹣2n+1；

（2）证明：当n≥2时，==（﹣），

∴+++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣）

=1+（1﹣）=﹣．

由于g（n）=﹣为递增数列，

即有g（n）≥g（1）=1，

且g（n）＜，

则+++…+＜成立．