Question

已知抛物线C：x2=

1

2

y和定点P（1，2），A、B为抛物线C上的两个动点，且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数．
（I）求证：直线AB的斜率是定值；
（II）若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M，求M的轨迹方程；
（III）若A′与A关于y轴成轴对称，求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直线PA的斜率为k（k≠0），则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-2=k（x-1），由

y-2=k(x-1) y=2x2

消y，得2x²-kx+k-2=0，再由韦达定理可以证明直线AB的斜率是定值；
（II）设点M（x，y）由y=2x²，得y'=4x，所以直线MA的方程为：y-y_A=4x_A（x-x_A），同理可得直线MB的方程，所以x=-

yA-yB

4(xA-xB)

+xA+xB=-1，由此能求出动点M的轨迹方程．
（III）由已知，A′(

-k+2

2

，

k2

2

-2k+2)，所以k_A'B=-2k，则直线A'B的方程为y-y_B=k_A'B（x-x_B），由此能求出交点P的纵坐标的取值范围．

解答：解：（I）设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直线PA的斜率为k（k≠0），
则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-2=k（x-1），
由

y-2=k(x-1) y=2x2

消y，得2x²-kx+k-2=0，
因为点P在曲线C上，
所以由韦达定理得xAxP=xA=

k-2

2

，yA=2+k(xA-1)=

k2

2

-2k+2．
所以A(

k-2

2

，

k2

2

-2k+2)，同理B（

-k-2

2

，

k2

2

+2k+2），（2分）
则kAB=

yA-yB

xA-xB

=

( k2 2 +2k+2)-( k2 2 -2k+2)

-k-2 2 - k-2 2

=-4（4分）
或由xA=

k-2

2

，同理xB=

-k-2

2

，（2分）
∴xA+xB=

k-2

2

+

-k-2

2

=-2，
又y_A=2x_A²，y_B=2x_B²，
∴y_A-y_B=2（x_A+x_B）（x_A-x_B），又x_A≠x_B，
∴kAB=

yA-yB

xA-xB

=2(xA+xB)=2×(-2)=-4．（4分）

（II）设点M（x，y）由y=2x²，得y'=4x，
所以直线MA的方程为：y-y_A=4x_A（x-x_A），①
同理直线MB的方程为：y-y_B=4x_B（x-x_B），②
由①②，得x=-

yA-yB

4(xA-xB)

+xA+xB=-1，③（6分）
把③代入①整理，得y=2-

1

2

k2＜2，
所以动点M的轨迹方程为x=-1（y＜2且y≠-6．（8分）

（III）由已知，A′(

-k+2

2

，

k2

2

-2k+2)，所以k_A'B=-2k，
则直线A'B的方程为y-y_B=k_A'B（x-x_B），
即y-y_B=-2k（x-x_B），（10分）
令x=0整理，得y=-

k2

2

+2＜2．
点P的纵坐标的取值范围是（-∞，-6）∪（-6，2）．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，合理地进行等价转化．