Question

【题目】已知抛物线上两点、，焦点满足，线段的垂直平分线过.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，结合抛物线的定义得出，再由中垂线的性质得出，利用两点间的距离公式得出，可求出实数的值，由此可得出抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，可得出直线，，可知直线或与抛物线相切，并与抛物线的方程联立，利用求出实数的值，即可得出直线的方程.

（1）由抛物线的定义可得，①

由于线段的垂直平分线过，则，

即，即，

，，

，，②

由①②得，因此，抛物线的方程为；

（2）设直线的方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，设平移后的直线方程为，由平行线间的距离公式可得，

得，得直线，，

可知直线或与抛物线相切，

若直线与抛物线相切，则，得，

，此方程无解；

若直线与抛物线相切，则，得，

，得，解得，

因此，直线的方程为或.