分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程,令x=0,y=0,可得B,A的坐标,再由面积公式即可得到所求解析式和定义域;
(2)求出f(t)的导数,求得单调区间和极值和最值,可得切点的横坐标,代入点斜式方程可得切线的方程.
解答 解:(1)函数y=1-x2的导数为y'=-2x,
得切线的斜率为kl=-2t,又P(t,1-t2),
即有直线l的方程为y-1+t2=-2t(x-t),
令x=0得B(0,t2+1),
令y=0得A($\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$,0),又0<t<1,
则S△AOB=f(t)=$\frac{1}{2}$((1+t2)($\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$)=$\frac{1}{4}$(t3+2t+$\frac{1}{t}$),定义域为(0,1);
(2)f′(t)=$\frac{1}{4}$(3t2+2-$\frac{1}{{t}^{2}}$)=$\frac{3{t}^{4}+2{t}^{2}-1}{4{t}^{2}}$,
由f'(t)=0及0<t<1得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
又0<t<$\frac{\sqrt{3}}{3}$时f′(t)<0,f(t)为减函数,
$\frac{\sqrt{3}}{3}$<t<1时f′(t)>0,f(t)为增函数,
当t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时f(t)取最小值,
此时切线l方程为$y-1+\frac{1}{3}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}(x-\frac{{\sqrt{3}}}{3})$,
即y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4}{3}$..
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查三角形的面积的解析式,以及最值的求法,注意运用导数求解,考查运算能力,属于中档题.
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A. | $\frac{4}{\sqrt{5}}$ | B. | $\sqrt{5}$+1 | C. | $\sqrt{5}$-1 | D. | 以上答案都不对 |
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A. | {2,5} | B. | {-4,-1,2,5} | C. | {-1,2,5} | D. | {-1,0,2,5} |
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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