Question

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足

OC

=cosθ

OA

+cos²θ

OB

，则sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=（　　）

• A．1
• B．-1+

  5

• C．1+

  5

• D．-1+

  5

  或1+

  5

Answer 1

分析：根据A、B、C三点共线，结合题中向量等式得到cosθ+cos²θ=1，从而cosθ=1-cos²θ=sin²θ，由此化简得sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=1+cosθ-cos²θ，再由cosθ+cos²θ=1解出cosθ和cos²θ的值，代入即可得到所求的值．

解答：解：∵A、B、C三点在同一条直线l上
∴由

OC

=cosθ

OA

+cos²θ

OB

，得cosθ+cos²θ=1
因此，cosθ=1-cos²θ=sin²θ，
∴sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=cosθ+cos²θ+cos³θ
结合cosθ+cos²θ=1，
得sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=1+cos³θ=1+cosθ（1-cosθ）=1+cosθ-cos²θ
由cosθ+cos²θ=1解出cosθ=

5 -1

2

，得cos²θ=

3- 5

2

∴sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=1+

5 -1

2

-

3- 5

2

=-1+

5

故选：B

点评：本题给出向量含有三角函数系数的等式，求三角函数式的值．着重考查了向量的线性运算和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．