Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

①函数y=f（x）在x=2取到极小值；
②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．
其中所有正确命题是

①③④

（写出正确命题的序号）．

Answer 1

分析：由导数图象可得当-1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，根据函数的单调性和极值，最值之间的关系进行判断．

解答：解：由图象可知当-1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
所以当x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．
所以①正确．
②函数在[0，2]上单调递减，所以②错误．
③因为x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．
所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，
因为f（-1）=f（5）=1，所以由函数图象可知当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；正确．
④因为函数在[-1，0]上单调递增，且函数的最大值为2，
所以要使当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，则t≥0即可，所以t的最小值为0，所以④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的推理能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．