【题目】已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 椭圆C过点A,所以4m+n①,
将y=x+3代入椭圆方程化简得:(m+n)x2+6nx+9n﹣1=0,
因为直线l与椭圆C相切,所以△=(6n)2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0②,
解①②可得, ,
所以椭圆方程为 ;
(Ⅱ)设点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),则有 ,
由题意可知PQ∥MN,所以kPQ=kMN=1,设直线PQ的方程为y=x+t,
代入椭圆方程并化简得:3x2+4tx+2t2﹣6=0
由题意可知 ③
通分后可变形得到
将③式代入分子
所以OM,ON斜率之和为定值0
【解析】(Ⅰ)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),椭圆C过点A,所以4m+n①,将y=x+3代入椭圆方程化简得:(m+n)x2+6nx+9n﹣1=0,由△=(6n)2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0②, 可得, ,即可得椭圆方程.(Ⅱ)设点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),可知PQ∥MN,所以kPQ=kMN=1, 设直线PQ的方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得:3x2+4tx+2t2﹣6=0
由题意可知 ,利用韦达定理可计算
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:.
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【题目】有件产品,其中件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽件.求:(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.
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【题目】已知向量 =(sinx,﹣1), =(2cosx,1).
(1)若 ∥ ,求tanx的值;
(2)若 ⊥ ,又x∈[π,2π],求sinx+cosx的值.
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【题目】已知函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),给出以下四个命题: ①x∈(﹣1,1),有f(﹣x)=﹣f(x);
②x1 , x2∈(﹣1,1)且x1≠x2 , 有 ;
③x1 , x2∈(0,1),有 ;
④x∈(﹣1,1),|f(x)|≥2|x|.
其中所有真命题的序号是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
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【题目】 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表
排队人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人以上 |
概率 | 0.1 | 0.16 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.04 |
(1)至多有2人排队的概率是多少?
(2)至少有2人排队的概率是多少?
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【题目】已知正实数a,b,c,函数f(x)=|x+a||x+b|. (Ⅰ)若a=1,b=3,解关于x的不等式f(x)+x+1<0;
(Ⅱ)求证:f(1)f(c)≥16abc.
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【题目】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.
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