Question

【题目】设函数g（x）=x2﹣2（x∈R）， 则f（x）的值域是 ．

Answer 1

【答案】[﹣2.25，0]U（2，+∞）
【解析】解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1， f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，
∴其最小值为f（﹣1）=2
其最大值为+∞，
因此这个区间的值域为：（2，+∞）．
当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，
f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25
其最小值为f（0.5）=﹣2.25
其最大值为f（2）=0
因此这区间的值域为：[﹣2.25，0]．
综合得：函数值域为：[﹣2.25，0]U（2，+∞）
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．