Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=0时，求得 ，…（2分）
∴由f（x）≥6 可得 x≤-1，或x≥2，
所以，不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由于函数 的最小值是4+a，…（7分）
要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，解得．…（10分）
分析：（Ⅰ）当a=0时，化简函数的解析式，从而求得f（x）≥6 的解集．
（Ⅱ）根据函数的解析式求得函数的最小值是4+a，要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，由此求得实数a的取值范围．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．